Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形；
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知CQ=4t，PC=12-3t，
∴S_△PCQ=PC•CQ=-6t²+24t．
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，
∴y=2S_△PCQ=-12t²+48t．

（2）当时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，
∵CA=12，CB=16，CQ=4t，CP=12-3t，
∴，
解得t=2．
∴当t=2秒时，四边形PQBA是梯形．

（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，
又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC，
从而，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB==20，
∴QM=．
若PD∥AB，则，
得，
解得t=．
∴当t=秒时，PD∥AB．

（4）存在时刻t，使得PD⊥AB．
时间段为：2＜t≤3．
延长PD交AB于H，过Q作QR⊥AB于R．在直角三角形APH中，
∵AP=3t，
∴AH=t，而HR=DQ=CQ=4t，
在直角三角形BQR中，
∵BQ=16-4t，
∴BR=．
∵AB=20．
∴t+4t+=20，解得t=．
∴存在时刻t使得PD⊥AB．

分析：（1）根据折叠的性质可知：四边形PCQD的面积等于△PCQ的面积的2倍，因此本题只需计算三角形PCQ的面积即可．可用t表示出PC和QB的长，然后根据三角形的面积公式即可得出三角形PCQ的面积与t的函数关系式，进而可求出y，t的函数关系式；
（2）如果四边形PQBA是梯形，那么只有一种情况，即PQ∥AB，可根据这两条平行线得出的关于CP，CA，CQ，CB的比例关系式求出此时t的值；
（3）可通过构建相似三角形来求解．延长PD交BC于M，通过相似三角形QMD和三角形ABC得出的关于OD，QM，AC，AB的比例关系式，可得出QM的表达式，然后根据PD∥AB得出的关于CP，CA，CM，CB的比例关系式求出t的值．
（4）可延长PD交AB于H，过Q作QR⊥AB于R．在直角三角形ARH中，AP=3t，因此AH=t，而HR=DQ=CQ=4t，在直角三角形BQR中，BQ=16-4t，因此BR=．由于AB=20．因此t+4t+=20，解得t=．因此存在时刻t使得PD⊥AB．
点评：[点评]本题是一道动态几何题，综合性较强，区分度较大，有一定的难度．
【命题意图】最后总是函数的应用，去年是一次函数的应用、二次函数的应用以及分类讨论，其实对初中而言，一次函数和二次函数的重要性是一样的，关键是函数思想的确立，函数模型的建立．本题考查求解二次函数关系式、并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力，同时考查的数学思想主要是数学建模思想．本题在呈现方式上做出了创新，试题贴近社会经济的盈亏问题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景-建立模型-解释、应用和拓展”的数学学习模式．