Question

18．如图，已知函数y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴上一点，若△PAB为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（　　）

• A． （-3-2$\sqrt{3}$，0）
• B． （3，0）
• C． （-1，0）
• D． （2$\sqrt{3}$，0）

Answer 1

分析 可先求得A、B两点的坐标，利用勾股定理可求得AB的长，再分别根据等腰三角形的性质对四个选项分别判断即可．

解答 解：如下图所示：

∵函数y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
在y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$中，令y=0可得x=-3，令x=0可得y=$\sqrt{3}$，
∴A（-3，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
（1）当AB=BP时，点P与P₁ 重合，则P₁ （3，0）；
（2）当AP=BP时，点P与点P₂重合，如图②所示：
过AB的中点C作x轴的垂线，垂足为D，
由题意知：CD²=AD•PD，
∵点C的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），设点P的坐标为（a，0）
∴（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=（-$\frac{3}{2}$+3）（a+3）
解之得：a=-1
即：点P的坐标为（-1，0）
（3）当AB=AP时，点P₃重合，则P₃（-3-2$\sqrt{3}$，0）
综上所述：若△PAB为等腰三角形，则点P的坐标可能是（3，0）、（-1，0）、（-3-2$\sqrt{3}$，0）
故：选D

点评 本题考查了等腰三角形的性质、一次函数的图形的性质等问题，解题的关键是根据等腰三角形的概念作图分别讨论P点的位置及坐标．