Question

20．如图，有-个面积为1的正方形纸板，第一次剪掉这块正方形纸板的一半，第二次剪掉剩下的一半，以此类推．问：
（1）第3次剪掉的面积是$\frac{1}{8}$；第3次剪掉后剩下的面积是$\frac{1}{8}$；
（2）第n次剪掉的面积是$\frac{1}{{2}^{n}}$；第n次剪掉后剩下的面积是$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（3）受此启发，请计算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（4）第（3）小题我们是借助图形解决了数的运算问题，这是数形结合数学思想的应用．

Answer 1

分析 （1）（2）第1次剪掉的面积是$\frac{1}{2}$；第1次剪掉后剩下的面积是1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；第2次剪掉的面积是$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；第3次剪掉后剩下的面积是$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；第3次剪掉的面积是$\frac{1}{8}$；第3次剪掉后剩下的面积是$\frac{1}{8}$；…由此规律得出答案即可；
（3）由此利用1减去最后剩下的面积计算得出$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$的结果；
（4）数形结合的思想运用．

解答 解：（1）第3次剪掉的面积是$\frac{1}{8}$；第3次剪掉后剩下的面积是$\frac{1}{8}$；
（2）第n次剪掉的面积是$\frac{1}{{2}^{n}}$；第n次剪掉后剩下的面积是$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（3）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（4）第（3）小题我们是借助图形解决了数的运算问题，这是数形结合数学思想的应用．

点评 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字运算规律，利用规律解决问题．