Question

8．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH，当AP=1时，则PH=3.4，EF=$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC，根据全等三角形的性质得到AP+HC=PH，设QH=HC=x，则DH=4-x．根据勾股定理列方程求解即可．

解答 解：∵PE=BE，
∴∠EPB=∠EBP，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠BPH=∠PBC．
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH，
过B作BQ⊥PH，垂足为Q，
在△ABP与△QBP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BQP=90°}\\{∠APB=∠BPH}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP=QP，BA=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，
∴△BCH和△BQH是直角三角形，
在Rt△BCH与Rt△BQH中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BQ}\\{BH=BH}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），
∴CH=QH，
∴AP+HC=PH，
∵AP=PQ=1，
∴PD=3，
设QH=HC=x，则DH=4-x，
在Rt△PDH中，PD²+DH²=PH²，
即3²+（4-x）²=（x+1）²，
解得x=2.4，
∴PH=3.4，
设CF=y，HF=2.4-y，
∴（2.4-y）²=y²+0.6²，
∴y=$\frac{9}{8}$，
∵BE=PE，PE²=AE²+AP²，∴BE²=（4-BE）²+1，
∴BE=$\frac{17}{8}$，
∴EF²=4²+（$\frac{17}{8}$-$\frac{9}{8}$）²=17，
∴EF=$\sqrt{17}$．
故答案为：3.4，$\sqrt{17}$．

点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．