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    如图①，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，CD=4．另有一直角三角形EFG，∠EFG=90°，点G与点D重合，点E与点A重合，点F在AB上，让△EFG的边EF在AB上，点G在DC上，以每秒1个单位的速度沿着AB方向向右运动，如图②，点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒．
    （1）在上述运动过程中，请分别写出当四边形FBCG为正方形和四边形AEGD为平行四边形时对应时刻t的值或范围；
    （2）以点A为原点，以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴，建立如图③所示的坐标系．求过A，D，C三点的抛物线的解析式；
    （3）探究：延长EG交（2）中的抛物线于点Q，是否存在这样的时刻t使得△ABQ的面积与梯形ABCD的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，解直角△DAF可得DF=，又FB=4-t，当GF=FB时，四边形FBCG为正方形，即=4-t，G、C重合之前，始终有GE∥OE，DG∥OE，故当0＜t≤4时，四边形AEGD为平行四边形；
    （2）解直角△EFG得GF=，EF=1，又AD=2，∴点D、C的坐标分别是（），（5），抛物线经过原点，可求抛物线解析式；
    （3）梯形ABCD面积可求，△ABQ的底边AB为已知，由此可求AB边上的高，即点Q的纵坐标，根据抛物线解析式求横坐标，进一步求出E点位置，可得出运动时间t．
    解答：解：（1）∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，
    ∴解直角△DAF可得AF=1，DF=，
    当时，四边形FBCG为正方形．
    当0＜t≤4时，四边形AEGD为平行四边形．

    （2）点D、C的坐标分别是（），（5），
    ∵抛物线经过原点O（0，0），
    ∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
    将D、C两点坐标代入得，
    解得，
    ∴抛物线的解析式为y=-x2+x；

    （3）∵点Q在抛物线上，
    ∴点Q（x，-x2+x），
    过点Q作QM⊥x轴于点M，又B（5，0），
    则S△ABQ=AB•QM=|-x2+x|=|-x2+6x|；
    又S四边形ABCD=（4+5）××=，
    令|-x2+6x|=，
    ∵EG的延长线与抛物线交于x轴的上方，
    ∴-x2+6x=9解得x=3，
    当x=3时，y=-×9+×3=，
    ∵∠QEM=60°，
    ∴EM==÷=，
    ∴t=3-（秒）．
    即存在这样的时刻t，当t=秒时，△AQB的面积与梯形ABCD的面积相等．
    点评：本题考查了四边形的判定方法，点的坐标及抛物线解析式的求法，并用面积法探讨了一些实际问题，具有较强的综合性．
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    24、如图1，在梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC，BD交于点P，则s△PAB=S△PDC，请你用梯形对角线的这一特殊性质，解决下面问题．
    在图2中，点E是△ABC中AB边上的任意一点，且AE≠BE，过点E画一条直线，把△ABC分成面积相等的两部分，保留作图痕迹，并简要说明你的方法．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
    		2
    ，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．
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    （1）求等腰梯形DEFG的面积；
    （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
    探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；
    探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    24、如图，已知：AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是
    等底等高的三角形面积相等

    规定；若一条直线l把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线l叫做这个图形的等积直线．根据此定义，在图1中易知直线为△ABC的等积直线．
    （1）如图2，在矩形ABCD中，直线l经过AD，BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该矩形的等积直线
    是
    （填“是”或“否”）．在图2中再画出一条该矩形的等积直线．（不必写作法）
    （2）如图3，在梯形ABCD中，直线l经过上下底AD、BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该梯形的等积直线
    是
    （填“是”或“否”）．
    （3）在图3中，过M、N的中点O任作一条直线PQ分别交AD，BC于点P、Q，如图4所示，猜想PQ是否为该梯形的等积直线？请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•黑河）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
    （1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
    （2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•乐山）阅读下列材料：
    如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b．若
    AM
    MB
    =
    m
    n
    ，则有结论：MN=
    bm+an
    m+n
    ．
    请根据以上结论，解答下列问题：
    如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1，PP2，PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3．
    （1）若点P为线段EF的中点．求证：PP1=PP2+PP3；
    （2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．

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