Question

9．如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．
求证：∠ABC=2∠CBO．

Answer 1

分析 连接OC、AC，如图，根据线段垂直平分线的性质得OC=AC，则可判断△OAC是等边三角形，所以∠AOC=60°，于是根据圆周角定理得到∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，然后在△BOC中，由于∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，根据三角形内角和可计算出∠CBO=15°，所以∠ABC=2∠CBO．

解答 证明：连接OC、AC，如图，
∵CD垂直平分OA，
∴OC=AC．
∴OC=AC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，
∵OB=OC，
∴∠CBO=15°，
∴∠ABC=2∠CBO．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质．