Question

10．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为$\sqrt{3}$，则HD的长为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=$\frac{1}{2}$∠ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH，即可得出HD的长．

解答 解：连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{AB=EB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH=$\frac{1}{2}$∠ABE=30°，AH=EH，
∴AH=AB•tan∠ABH=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
∴HD=AD-AH=$\sqrt{3}$-1，
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．