Question

3．直线AB经过点P（3，4）与坐标轴交于A、B，当S_△AOB最小时，△AOB的内切圆半径是2．

Answer 1

分析 设直线AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入求出直线AB的解析式是y=kx+4-3k，求出OA=4-3k，OB=$\frac{3k-4}{k}$，求出△AOB的面积是$\frac{1}{2}$•OB•OA=12-$\frac{9{k}^{2}+16}{k}$=12-（9k+$\frac{16}{k}$），根据-9k-$\frac{16}{k}$≥2$\sqrt{-9k•\frac{16}{k}}$=24和当且仅当-9k=-$\frac{16}{k}$时，取等号求出k=-$\frac{4}{3}$，求出OA=4-3k=8，OB=$\frac{3k-4}{k}$=6，设三角形AOB的内切圆的半径是R，由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×6R+$\frac{1}{2}$×8R+$\frac{1}{2}$×10R，求出即可．

解答 解：设直线AB的解析式是y=kx+b，
把P（3，4）代入得：4=3k+b，
b=4-3k，
即直线AB的解析式是y=kx+4-3k，
当x=0时，y=4-3k，
当y=0时，x=$\frac{3k-4}{k}$，
即A（0，4-3k），B（$\frac{3k-4}{k}$，0），
△AOB的面积是$\frac{1}{2}$•OB•OA=$\frac{1}{2}$•$\frac{3k-4}{k}$•（4-3k）=12-$\frac{9{k}^{2}+16}{2k}$=12-（$\frac{9k}{2}$+$\frac{8}{k}$），
∵要使△AOB的面积最小，
∴必须$\frac{9{k}^{2}+16}{2k}$最大，
∵k＜0，
∴-k＞0，
∵-$\frac{9k}{2}$-$\frac{8}{k}$≥2$\sqrt{\frac{9k}{2}•\frac{8}{k}}$=2×6=12，
当且仅当-$\frac{9k}{2}$=-$\frac{8}{k}$时，取等号，解得：k=±$\frac{4}{3}$，
∵k＜0，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
即OA=4-3k=8，OB=$\frac{3k-4}{k}$=6，
根据勾股定理得：AB=10，
设三角形AOB的内切圆的半径是R，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×6R+$\frac{1}{2}$×8R+$\frac{1}{2}$×10R，
R=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了勾股定理，取最大值，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，关键是求OA和OB的值，本题比较好，但是有一定的难度．