Question

2．如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A和C分别在x轴和y轴正半轴上，点B坐标为（3，3），抛物线y=-x²+bx+c过点A、C，交x轴负半轴于点D，与BC边的另一个交点为E，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点P在直线MN上，求当PE+PA的值最小时点P的坐标；
（3）如图2，探索在x轴是否存在一点F，使∠CFO=∠CDO-∠CAO？若存在，求点F的坐标；不存在，说明理由；
（4）将抛物线沿y轴方向平移m个单位后，顶点为Q，若QO平分∠CQN，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先确定A和C的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）AC与对称轴的交点就是P，首先求得AC的解析式，则P的坐标即可求得；
（3）在y轴的正半轴上截取OH=OD=1，则H的坐标是（0，1），延长DH交AC于点G，则DG⊥AC，∠CDH=∠CDO-∠CAO，当F在x轴的负半轴上时，当∠CFO=∠CDH=∠CDO-∠CAO时，则△CFO∽△CDG，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OF的长，则F的坐标即可求得，然后根据对称性求得F在x轴的正半轴时的坐标；
（4）当抛物线沿y轴的正半轴移动时，Q的横坐标是1，QO平分∠CQN，则CQ=OC，利用勾股定理即可求得Q的纵坐标；同理求得抛物线沿y轴的负半轴移动时Q的坐标．

解答 解：（1）∵四边形OABC是正方形，B的坐标是（3，3），
∴A的坐标是（3，0），C的坐标是（0，3）．
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则二次函数的解析式是y=-x²+2x+3；
（2）设直线AC的解析式是y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
则直线AC的解析式是y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
则P的坐标是（1，2）；
（3）在y=-x²+2x+3中令y=0，则-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3．
则D的坐标是（-1，0）A的坐标是（3，0）．
在y轴的正半轴上截取OH=OD=1，则H的坐标是（0，1），延长DH交AC于点G，则DG⊥AC；
∵直角△ODF中，OH=OD，
∴∠HDO=45°，
同理，∠CAO=45°，
∴∠HDO=∠CAO．则∠CDH=∠CDO-∠CAO．
当F在x轴的负半轴上时，
设DG的解析式是y=ex+f，则$\left\{\begin{array}{l}{-e+f=0}\\{f=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{e=1}\\{f=1}\end{array}\right.$，则DG的解析式是y=x+1．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
则G的坐标是（1，2）．
则DG=$\sqrt{（1+1）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，CG=$\sqrt{{1}^{2}+（3-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
当∠CFO=∠CDH=∠CDO-∠CAO时，△CFO∽△CDG，
则$\frac{CG}{CO}=\frac{DG}{OF}$，即$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{OF}$，解得：OF=6，
则F的坐标是（-6，0）．
根据对称性可得当F在x轴的正半轴上时F的坐标是（6，0）；
（4）当抛物线沿y轴的正半轴移动时，如图3，
设Q的坐标是（1，n）．作QI⊥y轴于点I．则IQ=1，IC=n-3，
则QO平分∠CQN，则CQ=OC=3，1²+（n-3）²=3²，
解得：n=3+2$\sqrt{2}$，
则Q的坐标是（1，3+2$\sqrt{2}$）；
同理，当抛物线沿y轴的负方向移动时Q的坐标是（1，3-2$\sqrt{2}$）．
总之，Q的坐标是（1，3+2$\sqrt{2}$）或（1，3-2$\sqrt{2}$）．

点评 本题是相似三角形，二次函数以及等腰三角形的性质的综合应用，正确作出辅助线，构造相似三角形是解决本题的关键．