Question

如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

5

，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一定角度后，分别交BC、AD于点E、F．

（1）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（2）当旋转角为90°时，在图2中画出直线AC旋转后的位置并证明此时四边形ABEF是平行四边形；
（3）在直线AC旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．（图供画图或解释时使用）

Answer 1

分析：（1）先根据四边形ABCD是平行四边形可得出AO=CO，AD∥BC，由全等三角形的判定定理可得出△AOF≌△COE，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据平行线的判定定理得出AB∥FE，再根据四边形ABCD是平行四边形可得出AD∥BC，进而可判断出四边形ABEF是平行四边形；
（3）①由△AOF≌△COE可得出EO=FO，再根据四边形ABCD是平行四边形可知BO=DO，由于EF⊥BD，所以四边形BEDF是菱形；
②先根据△ABC是直角三角形，利用勾股定理可得出AC的长，可判断出△ABO是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出∠AOF=45°，即旋转角为45°．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
∴在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴CE=AF；

（2）AC旋转后的位置如图1所示．
∵∠AOF=∠BAC=90°，
∴AB∥FE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形；


（3）①可能．当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形，如图2．
∵△AOF≌△COE（已证）
∴EO=FO，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
又∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
②∵AB=1，BC=

5

，∠BAC=90°
∴AC=

BC2-AB2

=

( 5 )2-12

=2，
∴AO=

1

2

AC=1，
∴△ABO是等腰直角三角形，∠AOB=45°，
又∵∠BOF=90°，
∴∠AOF=45°，即旋转角为45°．

点评：本题考查的是图形旋转的性质，涉及到平行四边形、菱形及等腰直角三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．