Question

直线与X轴Y轴分别交于点M，N，如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线相切，则符合要求的点P个数可能为

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：由题中所述点P在坐标轴上，所以要分①当P₁点在y轴上，并且在N点的下方；②当P₂点在x轴上，并且在M点的左侧；③当P₃点在x轴上，并且在M点的右侧；④当P₄点在y轴上，并且在点N上方这四种情况讨论，再根据圆的性质及相切的条件，以及相似三角形的对应边成比例，从而求出每种情况的P点坐标．
解答：分以下几种情况讨论：
①当P₁点在y轴上，并且在N点的下方时，设⊙P₁与直线y=-x+4相切于点A，
连接P₁A，则P₁A⊥MN，
∴∠P₁AN=∠MON=90°．
∵∠P₁NA=∠MNO，
∴△P₁AN∽△MON，
∴
在Rt△OMN中，OM=6，ON=8，
∴MN=10．
又∵，
∴P₁点坐标是（0，4）；
②当P₂点在x轴上，并且在M点的左侧时，同理可得P₂点坐标是（3，0）；
③当P₃点在x轴上，并且在M点的右侧时，设⊙P₃与直线y=-x+4上切于点B，连接P₃B．
则P₃B⊥MN，∴△P₃BM∽△MON，∴=，
又ON=8，MN=10，P₃B=，
∴P₃M=3，∴P₃点坐标是（9，0）；
④当P₄点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得P₄N=4．
∴P₄点坐标是（0，12）．
综上，P点有（0，4），（3，0），（9，0），（0，12）共四个．
故选D．
点评：本题考查了一次函数的基本性质及直线与圆相切的有关知识，同时还考查了相似三角形的性质及分类讨论的思想，有一定的难度．