Question

如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）²+k，
∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，
∴，
解得：a=-1，k=4，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）²+4．

（2）①∵四边形OMPQ为矩形，
∴OM=PQ，即3t=-（t+1）²+4，
整理得：t²+5t-3=0，
解得t=，由于t=＜0，故舍去，
∴当t=秒时，四边形OMPQ为矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．
若△AON为等腰三角形，有三种情况：

（I）若ON=AN，如答图1所示：
过点N作ND⊥OA于点D，则D为OA中点，OD=OA=，
∴t=；
（II）若ON=OA，如答图2所示：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，OD=OA-AD=1-x，
在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD²+ND²=ON²，
即（1-x）²+（3x）²=1²，解得x₁=，x₂=0（舍去），
∴x=，OD=1-x=，
∴t=；
（III）若OA=AN，如答图3所示：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，
在Rt△AND中，由勾股定理得：ND²+AD²=AN²，
即（x）²+（3x）²=1²，解得x₁=，x₂=-（舍去），
∴OD=1-x=1-，
∴t=1-．
综上所述，当t为秒、秒、（1-）秒时，△AON为等腰三角形．
分析：（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；
②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．
点评：本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．