Question

5．已知关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁+x₂=x₁x₂-5，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系即可得出x₁+x₂=2（k-1）、x₁x₂=k²，将其代入x₁+x₂=x₁x₂-5中即可得出关于k的一元二次方程，解方程可得出k的值，再由（1）的结论即可确定k的值．

解答 解：（1）∵方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂，
∴△=[-2（k-1）]²-4k²=-8k+4≥0，
解得：k≤$\frac{1}{2}$．
（2）∵方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，
∵x₁+x₂=x₁x₂-5，
∴2（k-1）=k²-5，即k²-2k-3=0，
解得：k=-1或k=3．
∵k≤$\frac{1}{2}$，
∴k=-1．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根的判别式找出关于k的一元一次不等式是解题的关键．