Question

8．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连结EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠DFE=2∠ACF．
（1）求证：OE=OF；
（2）连结BO，求证：BO=BC；
（3）若BC=2$\sqrt{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；
（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，由直角三角形的性质得出BC=$\frac{1}{2}$AC，即可得出结论；
（3）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理即可求出AB．

解答 （1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠FCO}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）证明：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得：∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=OA=OB，
（3）解：∵BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2BC=4$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=6．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．