Question

如图，点A在x轴正半轴上，点C在y正半轴上，四边形OABC为矩形，面积为6，双曲线y=

k

x

（x＞0）交BC于点M，交AB于点N，连接OB，MN，若2OB=3MN，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：设点A的横坐标为a，根据矩形的面积表示出OC，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出AN、CM，然后求出BM、BN，再利用勾股定理列式求出OB²、MN²，然后根据2OB=3MN列出关于a、k的方程，求解得到k的值再根据矩形的面积判断出k的取值范围，从而得解．

解答：解：设点A的横坐标为a，则OA=a，
∵矩形OABC的面积为6，
∴OC=

6

a

，
∴AN=

k

a

，
∵点M在BC上，
∴

k

x

=

6

a

，
解得：x=

ka

6

，
∴CM=

ka

6

，
∴BM=BC-CM=a-

ka

6

，
BN=AB-AN=

6

a

-

k

a

，
由勾股定理得，OB²=OA²+AB²=a²+（

6

a

）²=

1

a2

（a⁴+36），
MN²=BM²+BN²=（a-

ka

6

）²+（

6

a

-

k

a

）²=

a2

36

（6-k）²+

1

a2

（6-k）²=

1

36

（6-k）²•

1

a2

（a⁴+36），
∵2OB=3MN，
∴4OB²=9MN²，
∴4×

1

a2

（a⁴+36）=9×

1

36

（6-k）²•

1

a2

（a⁴+36），
∴（6-k）²=16，
解得k₁=2，k₂=10，
∵矩形OABC的面积为6，点B在双曲线上方，
∴k＜6，
∴k的值为2．
故答案为：2．

点评：本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，利用勾股定理列式表示出OB²、MN²，然后得到关于k飞方程是解题的关键．