Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：BN=CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．

Answer 1

分析：（1）连接ND，先由已知条件证明：DN=DC，再证明BN=DN即可；
（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；
（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时．

解答：（1）证明：连接ND．
∵AO平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠4=∠5=90°，
∴∠6=∠7，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是线段NC的中垂线，
∴DN=DC，
∴∠8=∠9．
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠3，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠3，
∴BN=DN．
∴BN=DC；

（2）如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE．
证明：过点C作CN'⊥AO交AB于N'．
由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE．
∴∠4=∠3，NN'=CE．
过点C作CG∥AB交直线l于G．
∴∠4=∠2，∠B=∠1．
∴∠2=∠3．
∴CG=CE．
∵M是BC中点，
∴BM=CM．
在△BNM和△CGM中，

∠B=∠1 BM=CM ∠NMB=∠GMC

，
∴△BNM≌△CGM．
∴BN=CG．
∴BN=CE．
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE．

（3）BN、CE、CD之间的等量关系：
当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；
当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；
当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形的内角和定理题目难度不小．