Question

（2012•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=3

2

千米，请据此解答如下问题：

（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据

2

≈1.414，

3

≈1.73，

6

≈2.45）
（2）求∠ACD的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接AC，根据AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45° AC=15

2

千米，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD的长后即可求周长和面积；
（2）直接利用余弦的定义求解即可．

解答：解：（1）连接AC
∵AB=BC=15千米，∠B=90°
∴∠BAC=∠ACB=45° AC=15

2

千米
又∵∠D=90°
∴AD=

AC2-CD2

=

(15 2 )2-(3 2 )2

=12

3

（千米）
∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3

2

+12

3

=30+4.242+20.784≈55（千米）
面积=S_△ABC+S_△ADC=112.5+18

6

≈157（平方千米）

（2）cos∠ACD=

CD

AC

=

3 2

15 2

=

1

5

…（8分）

点评：本题考查了解直角三角形的应用，与时事相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．