Question

19．观察下列等式：
①$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；
②$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
③$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$；…
回答下列问题：
（1）仿照上列等式，写出第n个等式：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）利用你观察到的规律，化简：$\frac{1}{2\sqrt{3}+\sqrt{11}}$；
（3）计算：$\frac{1}{{1+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+2}}+…+\frac{1}{{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出各式之间变化规律进而得出答案；
（2）首先找出有理化因式进而化简求出答案；
（3）直接将各式化简进而求出答案．

解答 解：（1）①$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；
②$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
③$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$；…
第n个等式：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
故答案为：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；

（2）$\frac{1}{2\sqrt{3}+\sqrt{11}}$=$\frac{\sqrt{12}-\sqrt{11}}{（\sqrt{12}+\sqrt{11}）（\sqrt{12}-\sqrt{11}）}$=$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{11}$；

（3）$\frac{1}{{1+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+2}}+…+\frac{1}{{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$-2+…+$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$
=-1+$\sqrt{2015}$．

点评 此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．