数学家帕普斯借助函数给出一种“三等分锐角”的方法，步骤如下：
①将锐角∠AOB置于平面直角坐标系中，其中以点O为坐标原点，边OB在x轴上；
②边OA与函数 $数学公式$ 的图象交于点P，以P为圆心，2倍OP的长为半径作弧，在∠AOB内部交函数 $数学公式$ 的图象于点R；
③过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M，连结OM．则∠MOB= $数学公式$ ∠AOB．
请根据以上材料，完成下列问题：

（1）应用上述方法在图1中画出∠AOB的三等分线OM；
（2）设 $数学公式$ ，求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
（3）证明：∠MOB= $数学公式$ ∠AOB；
（4）应用上述方法，请尝试将图2所示的钝角三等分．

（1）解：如图所示：

；

（2）解：由图1可得点M的坐标为（b， $\text{[math]}$ ），
故可得直线OM的表达式为：y= $\text{[math]}$ x．

（3）证明：过点P作y轴的平行线，过点R作x轴的平行线，两线相交于点Q，

则点Q的坐标为（a， $\text{[math]}$ ），
∴点Q在OM上，
∴四边形PQRM是矩形，
∴PN= $\text{[math]}$ PR=OP，
∴MQ=PR，
∴PN=MN，
∴∠MOB=∠PMN= $\text{[math]}$ ∠PNO= $\text{[math]}$ ∠AOM，
∴∠MOB= $\text{[math]}$ ∠AOB．

（4）解：边OA与函数y=- $\text{[math]}$ （x＜0）的图象交于点P，以点P为圆心，2OP的长为半径作弧，
在第四象限交函数y=- $\text{[math]}$ （x＞0）的图象于点R，
过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM，则∠MOB= $\text{[math]}$ ∠AOB．．
分析：（1）根据题意所述步骤即可作出∠AOB的三等分线OM；
（2）根据点P、点R的坐标可得出点M的坐标，继而可得出直线OM的解析式．
（3）过点P作y轴的平行线，过点R作x轴的平行线，两线相交于点Q，根据点Q的坐标可确定点Q在直线OM上，则可得四边形PQRM是矩形，由∠PON=∠PNO=2∠PMN=2∠MOB，可得出结论；
（4）方法不止一种，可以按照题意叙述的方法进行作图．
点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及了代行系数法求直线解析式的知识，解答本题的关键是仔细读题，明白题目给出的信息，在解题时注意活学活用．

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科目：初中数学 来源： 题型：

“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=

的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=

∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
（1）设P（a，

）、R（b，

），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明

∠MOB=

∠AOB；
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

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科目：初中数学 来源： 题型：

（1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”．但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的．如图a，∠AOB=90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分．仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）．（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）