Question

19．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（-13，0），直线y=kx+3k-4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为24．

Answer 1

分析 根据直线y=kx-3k-4必过点D（3，-4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（-13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．

解答 解：∵直线y=kx-3k-4必过点D（3，-4），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，-4），
∴OD=5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（-13，0），
∴圆的半径为13，
∴OB=13，
∴BD=12，
∴BC的长的最小值为24．
故答案为：24．

点评 此题考查的是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，解题的关键是求出BC最短时的位置．