如图,抛物线与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标.
(2)试判断△BCD的形状,并说明理由.
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)y=-x2-2x+3,(-1,4);(2)△BCD是直角三角形.理由见解析;(3)存在,p1(0,0)、p2(0,)、p3(-9,0).
解析试题分析:(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式;
(2)利用勾股定理求得△BCD的三边的长,然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断;
(3)分p在x轴和y轴两种情况讨论,舍出P的坐标,根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.
试题解析:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
由抛物线与y轴交于点C(0,3),可知c=3.即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3.
把点A(1,0)、点B(-3,0)代入,得
解得a=-1,b=-2
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4
∴顶点D的坐标为(-1,4);
(2)△BCD是直角三角形.理由如下:
解法一:过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F.
∵在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,
∴BC2=OB2+OC2=18
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,
∴CD2=DF2+CF2=2
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,
∴BD2=DE2+BE2=20
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD为直角三角形.
解法二:过点D作DF⊥y轴于点F.
在Rt△BOC中,∵OB=3,OC=3
∴OB=OC∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1
∴DF=CF
∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°
∴△BCD为直角三角形.
(3)①△BCD的三边,,又,故当P是原点O时,△ACP∽△DBC;
②当AC是直角边时,若AC与CD是对应边,设P的坐标是(0,a),则PC=3﹣a,,即,解得:a=﹣9,则P的坐标是(0,﹣9),三角形ACP不是直角三角形,则△ACP∽△CBD不成立;
③当AC是直角边,若AC与BC是对应边时,设P的坐标是(0,b),则PC=3﹣b,则,即,解得:b=,故P是(0,)时,则△ACP∽△CBD一定成立;
④当P在x轴上时,AC是直角边,P一定在B的左侧,设P的坐标是(d,0).
则AP=1﹣d,当AC与CD是对应边时,,即,解得:d=1﹣3,此时,两个三角形不相似;
⑤当P在x轴上时,AC是直角边,P一定在B的左侧,设P的坐标是(e,0).
则AP=1﹣e,当AC与DC是对应边时,,即,解得:e=﹣9,符合条件.
总之,符合条件的点P的坐标为:p1(0,0)、p2(0,)、p3(-9,0).
考点: 二次函数综合题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-x2+(m-1)x+4m的图象与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点B(0,4),已知点E(0,1).
(1)求m的值及点A的坐标;
(2)如图,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连结A′B、BE′.
①当点E′落在该二次函数的图象上时,求AA′的长;
②设AA′=n,其中0<n<2,试用含n的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;
③当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0).
(1)b= ,c= ;
(2)选取适当的数据填写下表,并在右图的直角坐标系中画出该函数的图像;
x | … | | | | | | … |
y | … | | | | | | … |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线C1:y=x2+3先向右平移1个单位,再向下平移7个单位得到抛物线C2。C2的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)。
(1)求抛物线C2的解析式;
(2)若抛物线C2的对称轴与x轴交于点C,与抛物线C2交于点D,与抛物线C1交于点E,连结AD、DB、BE、EA,请证明四边形ADBE是菱形,并计算它的面积;
(3)若点F为对称轴DE上任意一点,在抛物线C2上是否存在这样的点G,使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,请求出点G的坐标,如果不存在,请说明理由。
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
已知二次函数y1=ax2+bx-3的图象经过点A(2,-3),B(-1,0),与y轴交于点C,与x轴另一交点交于点D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求点C、点D的坐标;
(3)若一条直线y2,经过C、D两点,请直接写出y1>y2时,的取值范围.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,直线AB分别交y轴、x 轴于A、B两点,OA=2,,抛物线过A、B两点.
(1)求直线AB和这个抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,求△ABD的面积
(3)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t 取何值时,MN的长度l有最大值?最大值是多少?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
有两个直角三角形,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=6,在△DEF中,∠FDE=90°,DE=DF=4。将这两个直角三角形按图1所示位置摆放,其中直角边在同一直线上,且点与点重合。现固定,将以每秒1个单位长度的速度在上向右平移,当点与点重合时运动停止。设平移时间为秒。
(1)当为 秒时,边恰好经过点;当为 秒时,运动停止;
(2)在平移过程中,设与重叠部分的面积为,请直接写出与的函数关系式,并写出的取值范围;
(3)当停止运动后,如图2,为线段上一点,若一动点从点出发,先沿方向运动,到达点后再沿斜坡方向运动到达点,若该动点在线段上运动的速度是它在斜坡上运动速度的2倍,试确定斜坡的坡度,使得该动点从点运动到点所用的时间最短。(要求,简述确定点位置的方法,但不要求证明。)
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)、D(2, n)三点.
(1)求抛物线的解析式及点D坐标;
(2)点M是抛物线对称轴上一动点,求使BM-AM的值最大时的点M的坐标;
(3)如图2,将射线BA沿BO翻折,交y轴于点C,交抛物线于点N,求点N的坐标;
(4)在(3)的条件下,连结ON,OD,如图2,请求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0).
(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标;
(2)点(x1,y1),(x2,y2)在抛物线上,若x1<x2<1,比较y1,y2的大小;
(3)点B(﹣1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,求直线AC的函数关系式.
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