Question

20．如图，在?ABCD中，点E是边AD上一点，∠ABE=∠ECB，延长BE交CD的延长线于点F．
（1）$\frac{A{B}^{2}}{C{E}^{2}}$=$\frac{AE}{BC}$；
（2）AD•DF=EF•CE．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC知∠BEA=∠CBE，结合∠ABE=∠ECB可证△ABE∽△ECB，得$\frac{AB}{CE}=\frac{BE}{BC}$、$\frac{AB}{CE}$=$\frac{AE}{BE}$，相乘即可；
（2）由（1）知$\frac{BC}{CE}=\frac{BE}{AB}$，证△ABE∽△DFE知$\frac{BE}{AB}$=$\frac{EF}{DF}$，即可的$\frac{BC}{CE}$=$\frac{EF}{DF}$，由AD=BC可得答案．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA=∠CBE，
又∵∠ABE=∠ECB，
∴△ABE∽△ECB，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BE}{BC}$、$\frac{AB}{CE}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{AB}{CE}$•$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BE}{BC}$•$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AE}{BC}$，即$\frac{A{B}^{2}}{C{E}^{2}}$=$\frac{AE}{BC}$；

（2）∵△ABE∽△ECB，
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{BE}{AB}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，AD=BC，
∴△ABE∽△DFE，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{EF}{DF}$，
则$\frac{BC}{CE}$=$\frac{EF}{DF}$，即$\frac{AD}{CE}$=$\frac{EF}{DF}$，
∴AD•DF=EF•CE．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，根据待求证的比例式找到所需求证的相似三角形是解题的关键．