Question

21、已知△ABC中∠BAC=30°，∠ABC=80°，在△ABC内取一点K，使△BCK为正三角形，求∠KAC的度数．

Answer 1

分析：作△ABC的外接圆圆O，作BC的垂直平分线EF，则EF过O点，连接OB、0C，推出∠BOC=∠BKC，进而推出K和O重合，即K点是△ABC的外心，即KA=KC，由三角形的内角和定理和等边三角形求出∠ACK的度数即可求出答案．

解答：解：作△ABC的外接圆圆O，作BC的垂直平分线EF，则EF过O点，连接OB、0C，

∵∠A=30°，∠B=80°
∴∠ACB=180°-30°-80°=70°
∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∵△BCK为正三角形，
∴∠KCB=∠BKC=60°，BK=CK，
∴∠BOC=∠BKC
∴K也在EF上，且和O都在△ABC内，
∴K、O重合，
即K是△ABC的外接圆是圆心，
∴KA=KB=KC，
∠KAC=∠ACK=70°-60°=10°．

点评：本题主要考查了三角形的外接圆和外心，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理等知识点，作△ABC的外接圆和证K和O重合是解题的关键．难点是正确作辅助线．