Question

（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为

5

2

，tan∠ABC=

3

4

，则CQ的最大值是（　　）

• A．5
• B．

  15

  4

• C．

  25

  3

• D．

  20

  3

Answer 1

分析：根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC=

AC

BC

=

3

4

，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=

BN

AC

•PC=

4

3

PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．

解答：解：∵AB为⊙O的直径，
∴AB=5，∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=

AC

BC

，
∴

AC

BC

=

3

4

，
∵CP⊥CQ，
∴∠PCQ=90°，
而∠A=∠P，
∴△ACB∽△PCQ，
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，
∴CQ=

BC

AC

•PC=

4

3

PC，
当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=

4

3

×5=

20

3

．
故选D．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．