Question

如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．

（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；                                                                      

（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；

（3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．

Answer 1

解：(1)∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS＝∠BRS＝45°.

在△ABC与△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角，

∴△ABC∽△SBR..

(2)线段TS的长度与PA相等.

∵四边形PTEF是正方形，

∴PF＝PT，∠SPT＋∠FPA＝180°－∠TPF＝90°,

在Rt△PFA中，∠PFA ＋∠FPA＝90°,

∴∠PFA＝∠TPS，

∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA＝TS.

当点P运动到使得T与R重合时，

这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA＝TS.

由以上可知，线段ST的长度与PA相等.

 (3)由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，

∴PS＝BS, ∴BS＋PS＋PA＝1, ∴PS＝.

设PA的长为x，易知AF=PS，

则y＝PF＝PA＋PS,得y＝x＋(),

即y＝，

根据二次函数的性质，当x＝时，y有最小值为.

如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA＝TS为最大.

易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，

∴PA＝.

如图3，当P与A重合时，得x＝0.

∴x的取值范围是0≤x≤. 

∴①当x的值由0增大到时，y的值由减小到

∴②当x的值由增大到时，y的值由增大到.

∵≤≤，∴在点P的运动过程中，

正方形PTEF面积y的最小值是，y的最大值是.