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精英家教网已知⊙O1的半径为R,周长为C.
(1)在⊙O1内任意作三条弦,其长分别是l1l2l3,求证:l1+l2+l3<C;
(2)如图,在直角坐标系xOy中,设⊙O1的圆心为O1(R,R).
①当直线l:y=x+b(b>0)与⊙O1相切时,求b的值;
②当反比例函数y=
kx
(k>0)的图象与⊙O1有两个交点时,求k的取值范围.
分析:(1)根据圆的任意一条弦都小于或等于圆的直径解答;
(2)①设直线与圆相切于点M,连接O1M,则O1M⊥l,过点O1作直线NH⊥x轴,与l交于点N,与x轴交于点H,因为直线的k=1,所以直线与x轴的夹角等于45°,△OMN是等腰直角三角形,点N的坐标即可表示出来,再把点N的坐标代入直线解析式,即可求出b值;
②利用反比例函数图象关于直线y=x对称,作直线y=x的图象与圆有两交点,根据直线与x轴的夹角是45°,用圆的半径表示出两个交点坐标,分别代入反比例函数表达式求出k的值,k的取值就在这两个数值之间.
解答:精英家教网(1)证明:∵l1≤2R,l2≤2R,l3≤2R,
∴l1+l2+l3≤3×2R<π×2R=C,(2分)
因此,l1+l2+l3<C.(3分)

(2)解:①如图,根据题意可知⊙O1与x轴,y轴分别相切,
设直线l与⊙O1相切于点M,
则O1M⊥l,过点O1作直线NH⊥x轴,与l交于点N,与x轴交于点H,
又∵直线l与x轴,y轴分别交于点E(-b,0),F(0,b),
∴OE=OF=b,
∴∠NEO=45°,
∴∠ENO1=45°,
∴∠NO1M=45°,
在Rt△O1MN中,O1N=O1M÷sin45°=
2
R

∴点N的坐标为N(R,
2
R
+R),(4分)
把点N坐标代入y=x+b得:
2
R
+R=R+b,
解得:b=
2
R
.(5分)

②如图,设经过点O,O1的直线交⊙O1于点A,D,则由已知,直线OO1
y=x是圆与反比例函数图象的对称轴,当反比例函数y=
k
x
的图象与⊙O1直径AD相交时(点A,D除外),
则反比例函数y=
k
x
的图象与⊙O1有两个点.精英家教网
过点A作AB⊥x轴交x轴于点B,过O1作O1C⊥x轴于点C,
OO1=O1C÷sin45°=
2
R
,OA=
2
R
+R,
所以OB=AB=OA•sina45°=(
2
R
+R)•
2
2
=R+
2
2
R,
因此点A的坐标是A(R+
2
2
R,R+
2
2
R),
将点A坐标代入y=
k
x

解得:k=(
3
2
+
2
)R2;(6分)
同理可求得点D的坐标为D(R-
2
2
R,R-
2
2
R),
将点D的坐标代入y=
k
x
,解得:k=(
3
2
-
2
)R2(7分)
所以当反比例函数y=
k
x
(k>0)的图象与⊙O1有两个交点时,
k的取值范围是:(
3
2
-
2
)R2<k<(
3
2
+
2
)R2.(8分)
点评:本题考查:(1)直径是圆中最长的弦,其它任意弦都小于或等于圆的直径;
(2)一次函数图象的性质和反比例函数图象的性质,结合圆的特点直线的k等于1时与x轴的夹角等于45°是解本题的关键,也是解决本题的突破口.
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