Question

如图1，我们知道，若点C将切断AB分成两部分，且

AC

AB

=

BC

AC

，则称点C为线段AB的黄金分割点．类似地，我们可以给出“黄金分割点”的定义：若直线l将一个面积为S的图形分成两部分S₁，S₂，且

S1

S

=

S2

S1

，则称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）如图2，在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（靠近B），则直线CD是△ABC的黄金分割线吗？为什么？
（2）如图3，在△ABC中，D为AB的黄金分割点（靠近B），过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，则直线EF也为△ABC的黄金分割线，请你说明理由．
（3）如图4，四边形ABCD中，点E为AC的一个黄金分割点（靠近A），请你画出四边形ABCD的一条黄金分割线，简单写出画法步骤，并说明理由．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：常规题型

分析：（1）根据三角形面积公式得到S_△ACD：S_△ABC=AD：AB，S_△BCD：S_△ACD=BD：AD，再根据黄金分割的定义得到AD：AB=BD：AD，所以S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，于是根据图形的黄金分割线定义即可得到CD是△ABC的黄金分割线；
（2）根据三角形面积公式，由DE∥CE得到S_△DCF=S_△EDF，则S_△ACD=S_△AEF，S_△BCD=S_{四边形BCFE}，利用S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD得到S_△AEF：S_△ABC=S_{四边形BCFE}：S_△AEF，所以可判断直线EF为△ABC的黄金分割线；
（3）连结BE、DE、BD，过点E作MN∥BD分别交AD、AB于M、N，连结BM，则BM为四边形ABCD的一条黄金分割线．利用（2）的结论进行说明．

解答：解：（1）∵S_△ACD：S_△ABC=AD：AB，S_△BCD：S_△ACD=BD：AD，
又∵D是AB的黄金分割点，
∴AD：AB=BD：AD，
S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，
∴CD是△ABC的黄金分割线；
（2）∵DE∥CE，
∴S_△DCF=S_△EDF，
∴S_△ACD=S_△AEF，
∴S_△BCD=S_{四边形BCFE}，
∵S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，
∴S_△AEF：S_△ABC=S_{四边形BCFE}：S_△AEF，
∴直线EF为△ABC的黄金分割线；
（3）连结BE、DE、BD，过点E作MN∥BD分别交AD、AB于M、N，连结BM，则BM为四边形ABCD的一条黄金分割线．理由如下：
∵点E为AC的一个黄金分割点（靠近A），
∴S_△AED：S_△DEC=S_△DCE：S_△ACD，S_△ABE：S_△EBC=S_△BCE：S_△ABC，
∵MN∥BD，
∴S_△MEB=S_△MED，
∴S_{四边形BCDM}=S_{四边形BCDE}=S_△DCE+S_△BCE，
S_△ABM=S_△ADE+S_△ABE，
∴S_△ABM：S_{四边形BCDM}=S_{四边形BCDM}：S_{四边形ABCD}，
∴BM为四边形ABCD的一条黄金分割线．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．