Question

如图，一次函数y=-

1

2

x+1的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）A点坐标为

 

，B点坐标为

 

；
（2）过点C作x轴垂线，交x轴于点D，
①证明△ABO≌△CAD；
②求点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由一次函数y=-

1

2

x+1的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，分别有y=0，x=0，即可求得答案；
（2）①由等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，易得AB=AC，∠BAO=∠ACD，然后由AAS判定△ABO≌△CAD；
②由△ABO≌△CAD，可得AD=OB=1，继而求得OD=OA+AD=3，则可求得点C的坐标；
（3）分别从AP=AB，AB=BP以及AP=BP去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵一次函数y=-

1

2

x+1的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，
当y=0时，-

1

2

x+1=0，
解得：x=2，
∴点A（2，0），
当x=0时，y=1，
∴B（0，1）．
故答案为：（2，0），（0，1）；

（2）①证明：∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°．
又∵CD⊥x轴，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO．
在△ABO和△CAD中，

∠BAO=∠ACD ∠BOA=∠CDA=90° AB=AC

，
∴△ABO≌△CAD（AAS）；

②∵△ABO≌△CAD，
∴AD=OB=1，CD=OA=2，OD=OA+AD=3．
∴C的坐标是（3，2）；

（3）存在．
∵OA=2，OB=1，
∴AB=

OA2+OB2

=

5

，
①若AP=AB，则P₁（2+

5

，0），P₂（2-

5

，0）；
②若AB=BP，则OP=OA=2，
∴P₃（-2，0）；
③若AP=BP，
设OP=m，则AP=BP=OA-OP=2-m，
∵OB²+OP²=BP²，
∴1+x²=（2-m）²，
解得：m=

3

4

，
∴P₄（

3

4

，0）；
综上可得：点P的坐标为：P₁（2+

5

，0），P₂（2-

5

，0），P₃（-2，0），P₄（

3

4

，0）．

点评：此题属于一次函数的综合题．考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．