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【题目】如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点M,N分别是边BC,CD上的动点(不与点B,C,D重合),AM,AN分别交BD于点E,F,且∠MAN始终保持45°不变.

(1)求证:=

(2)求证:AF⊥FM;

(3)请探索:在∠MAN的旋转过程中,当∠BAM等于多少度时,∠FMN=∠BAM?写出你的探索结论,并加以证明.

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)BAM=22.5时,FMN=BAM,理由详见解析.

【解析】

试题分析:(1)根据已知易证MAF=MBE,即可得A、B、M、F四点共圆,根据圆内接四边形对角互补可求得AFM=90°,根据等腰直角三角形性质即求得=;(2)由(1)的结论AFM=90°,即可得AFFM;.(3)由A、B、M、F四点共圆,可证得BAM=EFM,因为BAM=FMN,所以EFM=FMN,推出MNBD,得到=,推出BM=DN,再证明ABM≌△ADN即可解决问题.

试题解析:

(1)证明:四边形ABCD是正方形,

∴∠ABD=CBD=45°ABC=90°

∵∠MAN=45°

∴∠MAF=MBE,

A、B、M、F四点共圆,

∴∠ABM+AFM=180°

∴∠AFM=90°

∴∠FAM=FMA=45°

AM=AF,

=

(2)由(1)可知AFM=90°

AFFM.

(3)结论:BAM=22.5时,FMN=BAM

理由:A、B、M、F四点共圆,

∴∠BAM=EFM,

∵∠BAM=FMN,

∴∠EFM=FMN,

MNBD,

=CB=DC,

CM=CN,

MB=DN,

ABM和ADN中,

∴△ABM≌△ADN,

∴∠BAM=DAN,

∵∠MAN=45°

∴∠BAM+DAN=45°

∴∠BAM=22.5°

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