Question

12．若x是不等于1的实数，我们把$\frac{1}{1-x}$称为x的差倒数，如2的差倒数是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒数为$\frac{1}{{1-（{-1}）=\frac{1}{2}}}$，现已知x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂是x₁的差倒数，x₃是x₂的差倒数，x₄是x₃的差倒数，…，依此类推．
（1）分别求出x₂，x₃，x₄的值；
（2）求x₁x₂…x₂₀₁₆的值．

Answer 1

分析 （1）根据差倒数的计算公式分别求解可得；
（2）由（1）得出数列的循环周期为3，据此可得原式=（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{3}{4}$×4×（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{3}{4}$×4×…×（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{3}{4}$×4=$\underset{\underbrace{（-1）×（-1）×…×（-1）}}{672个-1相乘}$，可得答案．

解答 解：（1）根据题意，得：x₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，x₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，x₄=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$；

（2）由（1）知，该数列循环周期为3，
∴2016÷3=672，
则x₁x₂…x₂₀₁₆=（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{3}{4}$×4×（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{3}{4}$×4×…×（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{3}{4}$×4
=$\underset{\underbrace{（-1）×（-1）×…×（-1）}}{672个-1相乘}$
=1．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据题意掌握差倒数的计算公式及数列的变化规律是解题的关键．