Question

1．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$，那么$\overrightarrow{BC}$等于2$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$（结果用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的线性组合表示）

Answer 1

分析 过点A作AE∥DC，证四边形AECD是平行四边形得AE=DC、AD=EC，从而得BC=2BE，由$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$可得答案．

解答 解：如图，

过点A作AE∥DC交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=DC、AD=EC，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴EC=BE=$\frac{1}{2}$BC，即BC=2BE，
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
则$\overrightarrow{BC}$=2（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=2$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$，
故答案为：2$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$．

点评 此题考查了平面向量的知识、梯形的性质以及平行四边形的性质与判定，注意掌握辅助线的作法，注意三角形法则的应用．