Question

12．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是边BC的中点，点G，H分别是边CD，AB上的动点，连接GH交AE于F，且使GH⊥AE，连接AG，EH，则EH+AG的最小值是（　　）

• A． 8
• B． 4$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． 8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 方法一：如图，由题意易证AE=GH=2$\sqrt{5}$，设FH=x，EF=y，则有HE+AG=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（2\sqrt{5}-x）^{2}+（2\sqrt{5}-y）^{2}}$，欲求HE+AG的最小值，相当于在平面直角坐标系内找一点（x，y），使得这个点到O（0，0），P（2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）的距离和最小，显然这个点在线段OP上，满足x=y时，HE+AG的值最小．想办法求出x的值即可解决问题；
方法二：作GK⊥AB于K，作EM∥AG，GM∥AE，则四边形AEGM是平行四边形．由AG+HE=EM+EG，推出当H、E、M共线时，AG+HE的值最小，最小值=$\sqrt{2}$HG；

解答 解：如图，由题意易证AE=GH=2$\sqrt{5}$，设FH=x，EF=y，则有HE+AG=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（2\sqrt{5}-x）^{2}+（2\sqrt{5}-y）^{2}}$，
欲求HE+AG的最小值，相当于在平面直角坐标系内找一点（x，y），使得这个点到O（0，0），P（2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）的距离和最小，显然这个点在线段OP上，满足x=y时，HE+AG的值最小，由此可知FH=EF时，HE+AG的值最小，如图连接BD交AE于F，作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，易证△FMH≌△FNE，
∴FH=EF，此时HE+AG的值最小，
易证四边形BNFM是正方形，设边长为a，则有$\frac{FM}{BE}$=$\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{a}{2}$=$\frac{4-a}{4}$，
∴a=$\frac{4}{3}$，
∴EF=FH=$\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
∴x=y=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
∴HE+AG的最小值=2$\sqrt{10}$，
故选C．
解法二：作GK⊥AB于K，作EM∥AG，GM∥AE，则四边形AEGM是平行四边形．

∵AE⊥HG，
∴∠B=∠GKH=∠AFH=90°，
∴∠BAE+∠AHF=90°，∠AHF+∠KGH=90°，
∴∠BAE=∠KGH，
∵KG=BC=AB，
∴△KGH≌△BAE，
∴GH=AG，
∴AE=GM=HG，AG=EM，
∴△GHM是等腰直角三角形，GH=GM=AE=2$\sqrt{5}$，
∵AG+HE=EM+EG，
∴当H、E、M共线时，AG+HE的值最小，最小值=$\sqrt{2}$HG=2$\sqrt{10}$．
故选C．

点评 本题考查轴对称-这个问题、正方形的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，本题体现了数形结合的思想的应用，属于中考压轴题．