Question

如图所示，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2．
求：（1）∠MAN的大小；
（2）△MAN面积的最小值．

Answer 1

解：（1）如图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，
∠1=∠2，∠NAL=∠DAB=90°
又∵MN=2-CN-CM=DN+BM=BL+BM=ML
∴△AMN≌△AML
∴∠MAN=∠MAL=45°

（2）设CM=x，CN=y，MN=z，
则x²+y²=z²，
∵x+y+z=2，则x=2-y-z
于是（2-y-z）²+y²=z²
整理得2y²+（2z-4）y+（4-4z）=0
∴△=4（z-2）²-32（1-z）≥0
即（z+2+）（z+2-）≥0
又∵z＞0
∴z≥-2当且仅当x=y=2-时等号成立
此时S_△AMN=S_△AML=ML•AB=z
因此，当z=-2，x=y=2-时，S_△AMN取到最小值为-1．
分析：（1）延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，进而求证△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°；
（2）设CM=x，CN=y，MN=z，根据x²+y²=z²和x+y+z=2，整理根据△=4（z-2）²-32（1-z）≥0可以解题．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等，各内角为直角的性质，本题中求证△AMN≌△AML是解题的关键．