Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，斜边AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，连接BE．
（1）直线BE是否与△DEC的外接圆⊙O相切？为什么？
（2）当AB=3时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

解：（1）是直线BE是否与△DEC的外接圆⊙O相切，理由如下：
连接OE．
∵DE 垂直平分AC，
∴∠DEC=90°．
∴DC为△DEC外接圆的直径．
∴DC的中点即为圆心O．
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点E斜边AC的中点，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ACB=30°．
∵∠EDC=90°-∠ACB=60°，
∵OE=OD．
∴∠EDC=∠EOD=60°．
∴∠EBC+∠EOD=30°+60°=90°．
∴∠BEO=90°．
∴BE⊥EO．
又∵OE为圆O的半径，
∴BE是圆O的切线；

（2）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=3，
∴AC=6．
∴EC=3．
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠ACB=30°，
∴DE=．
∴，
∵S_半圆==．
∴S_阴影=S_半圆-S_△DEC=．
分析：（1）直线BE是与△DEC的外接圆⊙O相切，连接OE，要证明直线BE与△DEC的外接圆⊙O相切，即转化为证明∠BEC=90°即可；
（2）求图中阴影部分的面积即转化为：S_阴影=S_半圆-S_△DEC，所以利用圆的面积公式和三角形的面积公式分别求出其面积作差即可．
点评：本题考查了圆切线的判定和性质、直角三角形的性质以及圆的面积公式和三角形的面积公式和求阴影部分的面积．