Question

15．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2$\sqrt{3}$，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在$\widehat{AB}$上的点D处，折痕交OA于点C，则阴影部分的面积是3π-4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OD交BC于点E，由翻折的性质可知：OE=DE=$\sqrt{3}$，在Rt△OBE中，根据特殊锐角三角函数值可知∠OBC=30°，然后在Rt△COB中，可求得CO，从而可求得△COB的面积，最后根据阴影部分的面积=扇形面积-2倍的△COB的面积求解即可．

解答 解：连接OD交BC于点E．
∴扇形的面积=$\frac{1}{4}$×（2$\sqrt{3}$）²π=3π，
∵点O与点D关于BC对称，
∴OE=ED=$\sqrt{3}$，OD⊥BC．
在Rt△OBE中，sin∠OBE=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OBC=30°．
在Rt△COB中，$\frac{OC}{OB}$=tan30°，
∴$\frac{OC}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴CO=2．
∴△COB的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$．
阴影部分的面积=扇形面积-2倍的△COB的面积
=3π-4$\sqrt{3}$．
故答案为：3π-4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质，扇形面积的计算以及特殊锐角三角函数值的应用，根据翻折的性质求得OE的长，然后再求得∠OBC的度数是解题的关键．