Question

5．在平面直角坐标系中，将抛物线C₁：y=x²平移后得到抛物线C₂，使得抛物线C₂恰好经过抛物线C₁的顶点，且抛物线C₂与x轴有两个交点，分别记为点A、点B．若AB=2$\sqrt{3}$，抛物线C₂的顶点为点C，则△ABC的周长是（　　）

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 6+2$\sqrt{3}$
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 12$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设抛物线C₂的解析式为y=x²+bx，点A同原点O重合，则点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，0）或（-2$\sqrt{3}$，0），当点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，0）时，利用待定系数法可求出抛物线C₂的解析式，进而可找出点C的坐标，利用两点间的距离公式可求出AC和BC的长度，再依照三角形的周长公式即可求出△ABC的周长；当点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，0）时，同理亦可求出△ABC的周长．此题得解．

解答 解：设抛物线C₂的解析式为y=x²+bx，点A同原点O重合，则点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，0）或（-2$\sqrt{3}$，0），如图所示．
当点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，0）时，将其代入y=x²+bx中，
0=12+2$\sqrt{3}$b，解得：b=-2$\sqrt{3}$，
∴抛物线C₂的解析式为y=x²-2$\sqrt{3}$x，
∴点C的坐标为（$\sqrt{3}$，-3），
∴AC=BC=$\sqrt{（\sqrt{3}-0）^{2}+（-3-0）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴C_△ABC=AB+AC+BC=6$\sqrt{3}$；
当点B的坐标为（-2$\sqrt{3}$，0）时，同理可求出AC=BC=2$\sqrt{3}$，
∴C_△ABC=AB+AC+BC=6$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换、待定系数法求二次函数解析式以及两点间的距离公式，根据AB的长度确定点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线C₂的解析式是解题的关键．