Question

如图所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，且BF=BC，E为AF中点，CF=CA．求证：BE⊥DE．

Answer 1

证明：连接BD，EO
∵BF=BC
∴B为CF的中点，
∵AB⊥CF，∴△AFC为等腰三角形，即AF=AC，
又∵CF=CA，∴△AFC为等边三角形，
∵E、O分别为AF、AC的中点，
∴EO=CF=BD，
即EO=BO=DO，即BD边上的中线为BD的一半，
△BDE为直角三角形，即∠BED=90°，
∴BE⊥DE．
分析：连接BD，EO，证明AF=AC，根据AC=CF得△ACF为等边三角形，进而求证EO=BO=DO，根据E在以BD为直径的圆上，根据圆周角定理即可求得∠BED=90°，即BE⊥DE．
点评：本题考查了斜边中线长是斜边长的一半的性质，考查了等边三角形各边长相等的性质，考查了中位线定理，本题中求证EO=DO=BO是解题的关键．