Question

函数y=

x4+x2+5

(x2+1)2

的最大值与最小值的乘积为

 

．

Answer 1

分析：把

1

x2+1

看成一个整体对函数y=

x4+x2+5

(x2+1)2

进行变形，然后再进行求解．

解答：解：y=

x4+x2+5

(x2+1)2

=

(x2+1)2-(x2+1)+5

(x2+1)2

=1-

1

x2+1

+

5

(x2+1)2

．
设z=

1

x2+1

，则y=5z²-z+1=5(z-

1

10

)2+

19

20

．
由0＜z≤1得，
当z=

1

10

即x=±3时，
y取最小值为

19

20

；
当z=1时，即x=0时，y取最大值为5．
故所求为

19

20

×5=

19

4

．
故答案为：

19

4

．

点评：本题考查了分式的化简求值和二次函数的最值，难度较大，关键把

1

x2+1

看成一个整体后再进行分类讨论．