Question

已知一次函数y=kx+4的图象分别与直线x=2和x=6交于点A、B，且y随x的增大而增大，直线x=2和x=6又分别与x轴交于点D、C．
（1）要使四边形ABCD的面积大于6，且小于64，试求k的取值范围；
（2）设一次函数y=kx+4的图象与x轴相交于点E，△BCE的外心P在第一象限，且到x轴与y轴的距离的和为6，求这个一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出草图．

Answer 1

解：如图，
（1）当x=2时，DA=2k+4，当x=6时，BC=6k+4，S_{四边形ABCD}=CD（AD+BC）=4（2k+4）（6k+4）=16k+16，
∵四边形ABCD的面积大于6，且小于64，
∴6＜16k+16＜64，
∴-＜k＜3；
（2）作OF⊥x轴于F，OG⊥y轴于G，
设O点坐标为（x，y），则O（x，kx+4），
根据垂径定理可知，CF=FE，
则有6-x=x-（-），
又∵O到x轴和y轴的距离之和为6，
∴x+kx+4=6，
组成方程组为，
整理，得3k²-k-2=0，
解得k₁=1，k₂=-．
由于y随x的增大而增大，则k=1，函数解析式为y=x+4．
分析：（1）将x=2，x=6分别代入y=kx+4求出DA、CB，再根据梯形的面积公式求出梯形的面积；
（2）作OF⊥x轴于F，OG⊥y轴于G，根据CF=FE和O到x轴和y轴的距离之和为6，列出方程组求出k的值．
点评：本题考查了一次函数与圆相结合的问题，同时涉及垂径定理、梯形的面积公式等问题，综合性较强．