Question

20．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD⊥BC于点D，延长DO交⊙O于F，连接OC，AF．
（1）求证：△COD≌△BOD；
（2）填空：①当∠1=30°时，四边形OCAF是菱形；
                  ②当∠1=45°时，AB=2$\sqrt{2}$OD．

Answer 1

分析 （1）由SSS即可证出结论；
（2）①要四边形OCAF是菱形，需OC=CA=AF=OF，即△AOC为等腰三角形，∠2=60°，那么∠1=30°；②由等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴OC=OB，
∵OD⊥BC于点D，
∴CD=BD，
在△CDO和△BDO中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{CD=BD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△BDO（SSS）；

（2）解：当∠1=30°时，四边形OCAF是菱形．
理由如下：
∵∠1=30°，AB是直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠2=60°，而OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴OA=OC=CA，
又∵D，O分别是BC，BA的中点，
∴DO∥CA，
∴∠2=∠3=60°而OC=OA=AF．
∴△OAF是等边三角形，
∴AF=OA=OF，
∴OC=CA=AF=OF，
∴四边形OCAF是菱形；
②当∠1=45°时，AB=2$\sqrt{2}$OD，
∵∠1=45°，
∵OD⊥BC于点D，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴OB=$\sqrt{2}$OD，
∴AB=2OB=2$\sqrt{2}$OD．

点评 本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、圆周角定理、三角形中位线定理；熟练掌握全等三角形的判定和菱形的判定，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．