Question

如图1，△ABC为等边三角形，D为B上任一点，∠ADE=60°，边DE与∠ACB外角的平分线相交于点E．
（1）求证：AD=DE；
（2）若点D在CB的延长线上，如图2，（1）中的结论是否仍然成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．则△BDM是等边三角形，则易证AM=DC，根据ASA即可证得△AMD≌△DCE（ASA），根据全等三角形的对应边相等，即可证得；
（2）延长CA到M，使AM=BD，与（1）相同，可证△CDM是等边三角形，然后证明△AMD≌△ECD（ASA），根据全等三角形的对应边相等，即可证得．

解答：（1）证明：如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BA=BC．
∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．
∵CE是外角∠ACF的平分线，
∴∠ECF=60°，∠DCE=120°．
∴∠AMD=∠DCE．
∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠CDE+∠ADE=∠MAD+∠B，
∴∠CDE=∠MAD．
又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．
在△AMD和△DCE中，

∠MAD=∠CDE MA=CD ∠AMD=∠DCE

，
∴△AMD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE．

（2）答：正确．
证明：延长CA到M，使AM=BD，与（1）相同，可证△CDM是等边三角形，
∴∠CDM=∠M=60°，CD=DM，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADM=∠EDC，
在△AMD和△DCE中，

∠ADM=∠EDC DM=DC ∠M=∠ECD=60°

，
∴△AMD≌△ECD（ASA），
∴AD=DE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．