Question

4．如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的直径．
（1）试判断四边形ACBD是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）若四边形ACBD的面积为16，试求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）由AC，BD是⊙O的两条直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，则可判定四边形ABCD是矩形，然后根据线段垂直平分线的性质求得AC=AD，则可判定四边形ABCD是正方形；
（2）根据正方形的面积=$\frac{1}{2}$对角线的积求得半径，然后根据圆的面积公式求得即可．

解答 解：（1）四边形ABCD是正方形．
理由：∵AC，BD是⊙O的两条直径，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）∵S_正方形=$\frac{1}{2}$AB•CD，AB=CD，
∴$\frac{1}{2}$AB²=16，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径为2$\sqrt{2}$，
∴S_圆=πR²=8π．

点评 本题考查了圆周角定理，正方形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．