Question

【题目】图1是边长分别为4 和2的两个等边三角形纸片ABC和OD′E′叠放在一起（C与O重合）．
（1）操作：固定△ABC，将△ODE绕点C顺时针旋转30°，后得到△ODE，连接AD、BE、CE的延长线交AB于F（图2）： 探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
（2）在（1）的条件下将△ODE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，当点P与点F重合时停止运动（图3）． 探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．
（3）将图1中△ODE固定，把△ABC沿着OE方向平移，使顶点C落在OE的中点G处，设为△ABG，然后奖△ABG绕点G顺时针旋转，边BG交边DE于点M，边AG交边DO于点N，设∠BGE=α（30°＜α＜90°）（图4）． 探究：在图4中，线段ONEM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出ONEM的值，如果有变化，请你说明．

Answer 1

【答案】
（1）解：BE=AD．

证明：如图2，∵△ABC与△DCE是等边三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD，

∴∠BCE=∠ACD，

在△BCE与△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD

（2）解：如图3，在△CQT中

∵∠TCQ=30°∠RQP=60°，

∴∠QTC=30°，

∴∠QTC=∠TCQ，

∴QT=QC=x，

∴RT=2﹣x，

∵∠RTS+∠R=90°

∴∠RST=90°

∴y= ×22﹣ （2﹣x）2=﹣ （2﹣x）2+ （0≤x≤2）

（3）解：ONEM的值不变，

理由为：如图4，∵∠AGB=60°，

∴∠MGE+∠NGO=120°，

∵∠GNO+∠NGO=120°，

∴∠MGE=∠GNO，

∵∠E=∠O，

∴△EMG∽△OGN，

∴ = ，

∴ONEM=OGEG=1．

【解析】（1）可通过证三角形BEC和ACD全等来得出BE=AD；（2）由于重合部分的面积无法直接求出，因此可用△RPQ的面积减去△RST的面积来求得（S、T为RP、RQ与AC的交点）．△PRQ的面积易求得，关键是△RST的面积，三角形RST中，由于∠RTS=∠CTQ=60°﹣∠TCQ=30°，而∠R=60°，因此△RST是直角三角形，只需求出RS和ST的长即可．上面已经求得了∠QTC=∠QCT=30°，因此RT=RQ﹣QT=RQ﹣QC=3﹣x，然后根据△RTS中特殊角的度数，即可得出RS和ST的长，进而可得出y与x的函数关系式；（3）本题可通过证△GEM和△NGO相似来求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．