Question

已知：如图，在矩形ABCD中，BC=6，AB=8．延长AD到点E，使AE=15，连接BE交AC于点P．
（1）求AP的长；
（2）若以A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）若以A为圆心，r₁为半径作⊙A，使点D在⊙A内，点B在⊙A外，则r₁的取值范围是______，在这一条件下，若再以C为圆心，r₂为半径作⊙C与⊙A相切，则r₂的取值范围是______．

Answer 1

解：（1）∵在矩形ABCD中，BC=6，AB=8．
∴AC==10，
，∵BC∥AE，
∴△PBC∽△PEA，
∴===，
∴=，
∴AP=×10=；

（2）∵≠，
∴△BAP与△CAB不相似，
∴AP与BE不垂直，
∴BE与⊙A的位置关系为相交；

（3）若以A为圆心，r₁为半径作⊙A，使点D在⊙A内，点B在⊙A外，则r₁的取值范围为0≤r₁＜6；
∵r₁+r₂=10，
∴r₁=10-r₂，
∴0≤10-r₂＜6，
∴4＜r₂≤10．
故答案为0≤r₁＜6；4＜r₂≤10．
分析：（1）先利用勾股定理计算出AC=10，再证明△PBC∽△PEA，然后利用相似比和比例性质计算AP；
（2）利用≠，可判断△BAP与△CAB不相似，则AP与BE不垂直，然后根据直线与圆的位置关系进行判断；
（3）根据点与圆的位置关系得到0≤r₁＜6，再利用两圆相切的性质得到r₁=10-r₂，则0≤10-r₂＜6，然后解不等式组．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系：若两圆的圆心距、半径分别为d、R、r，则①两圆外离?d＞R+r；②两圆外切?d=R+r；③两圆相交?R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切?d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含?d＜R-r（R＞r）．也考查了点与圆、直线与圆的位置关系．