Question

17．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）指出线段DC和线段BE的关系，并说明理由；
（3）连接BD，试说明：△ABD的面积和△ACE的面积相等．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得出AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，求出∠BAE=∠CAD，根据SAS证△ABE≌△ACD即可；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）过A作AH⊥BC于H，根据三角形面积的和差即可得到结论．

解答 解：（1）图2中△ABE≌△ACD，
证明如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD
∵在△ABE和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD；
（2）DC=BE，CD⊥BE，
理由：∵△ABE≌△ACD，
∴CD=BE，∠ACD=∠B=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DCB=90°，
∴CD⊥BE；
（3）过A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH=$\frac{1}{2}$BC，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•CD=AH•BE，S_△ABE=$\frac{1}{2}$BE•AH，
∴S_△BCD=2S_△ABE，
∵△ABE≌△ACD，
∴S_△ABD+S_△ABC=S_△ABE=S_△ABC+S_△ACE，
即S_△ABD=S_△ACE．

点评 本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，主要考查学生的计算能力和推理能力．