Question

如图，在梯形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点．
（1）求证：四边形MENF是平行四边形；
（2）当梯形ABCD满足什么条件时，四边形MENF是菱形？
（3）若四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的，问AD、BC满足什么关系？

Answer 1

（1）证明：∵N为BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点，
∴NE∥MC，且NE=MC=MF，
∴四边形MENF是平行四边形；

（2）证明：若四边形MENF是菱形，则ME=MF，即MB=MC，
则∠MBC=∠MCB，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，
∴∠AMB=∠DMC，
又∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
则在△AMB与△DMC中，
∵，
∴△AMB≌△DMC（SAS），
∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）．
即：当梯形ABCD是等腰梯形时，四边形MENF是菱形；

（3）证明：∵NE，NF为△MBC的中位线，
∴S_{四边形MENF}=S_△MBC，
要使S_{四边形MENF}=S_梯形ABCD，即S_△MBC=S_梯形ABCD，
∴S_△MBC=S_梯形ABCD，
而S_梯形ABCD=S_△MBC+S_△ABM+S_△DCM，
设AD与BC之间的距离为h，
则 BC•h=×（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的．
分析：（1）利用三角形中位线定理证得NE∥MC，且NE=MC=MF，然后由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”推知四边形MENF是平行四边形；
（2）利用全等三角形的判定定理SAS证得△AMB≌△DMC；然后由全等三角形的对应边相等推知AB=CD，即梯形ABCD是等腰梯形时，四边形MENF是菱形；
（3）由三角形中位线定理与三角形的面积公式知S_{四边形MENF}=S_△MBC、已知条件S_{四边形MENF}=S_梯形ABCD、图形知S_梯形ABCD=S_△MBC+S_△ABM+S_△DCM，据此可以求得AD与BC的数量关系．
点评：本题考查了等腰梯形的性质、菱形的性质、三角形中位线定理以及全等三角形判定与性质．菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．