Question

在⊙O中，弦AB∥CD．
（1）

AC

与

BD

相等吗？请说明理由；
（2）若∠BOD=45°，E为圆O上异于点A、C的任一点，求∠AEC的度数．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：计算题

分析：（1）根据平行线的性质得∠A=∠D，然后根据圆周角定理即可得到

AC

=

BD

；
（2）分类讨论当点E不在弧AC上，根据圆周角定理得∠AEC=

1

2

∠BOD=22.5°；当点E在弧AC上，根据圆内接四边形的性质得∠AEC=180°-22.5°=157.5°．

解答：解：（1）相等．理由如下：连结AD，如图1，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
∴

AC

=

BD

；

（2）如图2，当点E不在弧AC上，
∵

AC

=

BD

，
∴∠AEC=

1

2

∠BOD=

1

2

×45°=22.5°，
当点E在弧AC上，
∠AEC=180°-22.5°=157.5°．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．