Question

如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，由△ABC与△CDE都是等边三角形，可得出角之间的等量关系，从而证明四边形EFCD是菱形；
（2）连接DF，与CE相交于点G，由（1）知DF就是菱形EFCD的一条对角线，根据菱形的性质及30°特殊角的值可计算出结果．

解答：（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴ED=CD．
∴∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60°．（1分）
∴AB∥CD，DE∥CF．（2分）
又∵EF∥AB，
∴EF∥CD，（3分）
∴四边形EFCD是菱形．（4分）

（2）解：连接DF，与CE相交于点G，（5分）
由CD=4，可知CG=2，（6分）
∴DG=

42-22

=2

3

，（7分）
∴DF=4

3

．（8分）

点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．