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    （1）动手操作：
    如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为______．
    （2）观察发现：
    小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
    作业宝
    （3）实践与运用：
    将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
    作业宝

    解：（1）∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，
    ∴∠AEB=70°，
    ∴∠BED=110°，
    根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．
    ∵AD∥BC，
    ∴∠EFC=125°，
    再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．
    故答案为125°；


    （2）同意．
    如图，设AD与EF交于点G．
    由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
    由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，
    所以∠AGE=∠AGF=90°，
    所以∠AEF=∠AFE．
    所以AE=AF，
    即△AEF为等腰三角形．

    （3）由题意得出：
    ∠NMF=∠AMN=∠MNF，
    ∴MF=NF，由对称性可知，
    MF=PF，
    ∴NF=PF，
    而由题意得出：MP=MN，MF=MF，
    在△MNF和△MPF中，
    ∵，
    ∴△MNF≌△MPF（SSS），
    ∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，
    即3∠MNF=180°，
    ∴∠MNF=60°，
    分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根据平行线的性质得到∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°；
    （2）根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形；
    （3）由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可．
    点评：此题的综合性较强，综合运用了折叠的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    23、动手操作：
    如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
    提出问题：
    （1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；
    （2）请写出三个代数式（a+b）2，（a-b）2，ab之间的一个等量关系．
    问题解决：
    根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：
    已知：x+y=6，xy=3．求：（x-y）2的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    动手操作
    在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系．
    （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应；
    （2）平移△ABC，使得A点在x轴上，B点在y轴上，平移后的三角形记为△A2B2C2，作出平移后的△A2B2C2，其中A，B，C分别和A2，B2，C2对应．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    动手操作：如图，在10×10的正方形网格中，有一矩形ABCD．
    （1）将矩形ABCD向下平移5个单位得到矩形A1B1C1D1，再绕点C1顺时针旋转90°，得到矩形A2B2C2D2，请你画出矩形A1B1C1D1和A2B2C2D2；
    （2）直线B1C1上存在格点P使∠A1PA2=90°．这样的格点P有
    1
    1
    个．（请直接写出答案）
    （3）请建立一个恰当的平面直角坐标系，点O为坐标原点，使得点A在第二象限，且满足直线AO与x轴的负半轴的夹角余弦值为
    45
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    动手操作：如图，在10×10的正方形单位网格中，有一矩形ABCD．
    （1）将矩形ABCD向下平移4个单位得到矩形A1B1C1D1，再绕点C1顺时针旋转90°，得到矩形A2B2C2D2，请你画出矩形A1B1C1D1和矩形A2B2C2D2；
    （2）直线B1C1上存在格点P，使∠A1PA2=90°，这样的格点P有
    1
    1
    个；（请直接写出答案）
    （3）求点A在旋转过程中所经过的路径长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    动手操作：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动．
    求：（1）当点Q与点D重合时，A′C的长是多少？
    （2）点A′在BC边上可移动的最大距离是多少？

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