Question

20．在平行四边形ABCD中（∠B为锐角），AB=5，AD=7，点D关于直线AC的对称点为点E，连接AE与BC交于G．
（1）若AG⊥BC，如图（1），求tan∠BAG；
（2）若平行四边形ABCD的面积为14$\sqrt{6}$，如图（2），求BG的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，BC=AD=7，得出∠DAC=∠BCA，由轴对称的性质得出∠EAC=∠DAC，证出∠EAC=∠BCA，得出AG=CG，设BG=x，则AG=CG=7-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程即可进一步得出所求；
（2）作AH⊥BC于H，由平行四边形的面积求出AH=2$\sqrt{6}$，由勾股定理求出BH=1，设BG=x，则CG=7-x，GH=x-1，同（1）得：AG=CG=7-x，在Rt△AHG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=7，
∴∠DAC=∠BCA，
∵点D关于直线AC的对称点为点E，
∴∠EAC=∠DAC，
∴∠EAC=∠BCA，
∴AG=CG，
设BG=x，则AG=CG=7-x，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB=90°，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：BG²+AG²=AB²，
即x²+（7-x）²=5²，
解得：x=3或x=4，
∴当BG=3时，AG=4，tan∠BAG=$\frac{BG}{AG}$=$\frac{3}{4}$；
当BG=4时，AG=3，tan∠BAG=$\frac{BG}{AG}$=$\frac{4}{3}$；
∴tan∠BAG的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}$；
（2）作AH⊥BC于H，如图2所示：
∵平行四边形ABCD的面积=BC•AH=14$\sqrt{6}$，BC=7，
∴AH=2$\sqrt{6}$，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{25-24}$=1，
设BG=x，则CG=7-x，GH=x-1，
同（1）得：AG=CG，
∴AG=7-x，
在Rt△AHG中，AH²+GH²=AG²，
即（2$\sqrt{6}$）²+（x-1）²=（7-x）²，
解得：x=2，
即BG=2．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、轴对称的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．